Mathématiques
Troisième
Le Théorème de Thalès
Rappels de cours
Le Théorème de Thalès
Si on coupe deux droites sécantes à un point par deux droites parallèles, alors les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux côtés associés de l’autre triangle.
Exemple :
On a (DE) // (AB) puis C, D et A ainsi que C, E et B alignés dans cet ordre.
D’après le théorème de Thalès,
On conclut que CD/CA = CE/CB = DE/AB.
Le Réciproque du Théorème de Thalès
Si les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux côtés associés de l’autre triangle, alors les deux droites sécantes en un point sont coupées par deux droites parallèles.
Exemple :
On a CD/CA = CE/CB et C, D et A ainsi que C, E et B alignés dans cet ordre.
D’après la réciproque du théorème de Thalès,
On conclut que (DE) // (AB).
La Contraposée du Théorème de Thalès
Si les longueurs des côtés d’un triangle ne sont pas proportionnelles aux côtés associés de l’autre triangle, alors les deux droites sécantes en un point ne sont pas coupées par deux droites parallèles.
Exemple :
On a CD/CA ≠ CE/CB et C, D et A ainsi que C, E et B alignés dans cet ordre.
D’après la contraposée du théorème de Thalès,
On conclut que (DE) et (AB) ne sont pas parallèles.
Exercices
Exercice 1
Soient (LM) et (IJ) deux droites parallèles. Les points G, M et I sont alignés dans cet ordre, et les points G, L et J sont alignés dans cet ordre.
On donne : GL=4 cm ; GM=3 cm ; GJ=5cm.
Quelle est la longueur de [GI] ?
Exercice 2
A partir de la figure suivante, calculer la longueur EH.
On donne EF=3cm, EG=8cm et EK=4cm. On sait aussi que les droites (FK) et (GH) sont parallèles.
Exercice 3
A partir de la figure suivante, calculer la longueur RS.
On donne QT=3m, PT=5m et PS=7m. On sait aussi que les droites (QT) et (RS) sont parallèles.
Exercice 4
Dans la configuration ci-dessous, montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles :
Corrigés
Exercice 1
Soient (LM) et (IJ) deux droites parallèles. Les points G, M et I sont alignés dans cet ordre, et les points G, L et J sont alignés dans cet ordre.
On donne : GL=4 cm ; GM=3 cm ; GJ=5cm.
Quelle est la longueur de [GI] ?
On sait que (LM) et (JI) sont parallèles et G, M, I d’une part et G, L, J d’autre part sont alignés dans cet ordre.
D’après le théorème de Thalès, on a :
