Les dérivées peuvent parfois être compliquées à calculer. Cette année, nous allons prendre l’habitude d’écrire une fonction comme composée de fonctions usuelles. Cela permettra de simplifier certains calculs.
Nous découvrirons la fonction logarithme népérien. Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle étudiée en première. Historiquement, la fonction ln a été inventée pour simplifier les calculs, car elle permet de convertir les multiplications en additions, et les puissances en multiplications.
Les fonctions trigonométriques interviennent souvent en physique. Elles s’étudient comme n’importe quelle fonction, et le recours au cercle trigonométrique permet de résoudre rapidement des équations et inéquations.
Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l’opération inverse de la dérivation.
Nous allons décrire un ensemble d’objets à l’aide de réunions, de produits ou de parties d'ensemble, cela permettra de les dénombrer rigoureusement. Le nombre de listes de k objets deux à deux distincts pris parmi n, ordonnées ou non, se détermine en fonction de k et de n.
Comme déjà vu en 2nde, les vecteurs sont définis par 3 éléments : leur norme, leur sens, et leur direction. Maintenant, il faut aborder les notions de produits scalaires et d’orthogonalité. Deux vecteurs orthogonaux sont appelés des « vecteurs normaux ».
Nous allons apprendre à écrire des équations cartésiennes et paramétriques de droites. Dans le premier cas, nous aurons besoin d’un vecteur normal à notre droite, et dans le second cas nous aurons besoin d’un vecteur directeur de notre droite.
Jusqu’à présent, le plus grand ensemble de nombre connu était celui des réelles qui englobait l’ensemble de la droite graduée. Nous allons apprendre l’existence d’un ensemble plus grand encore, celui des nombres complexes, que l’on appelle aussi “les imaginaires”. Nous étudierons ces nombres d'un point de vue algébrique mais aussi d’un point de vue géométrique. Nous verrons aussi qu’on peut lier nombres complexes et trigonométrie.
Maintenant que l'on connait l'existence des nombres complexes, nous allons pouvoir résoudre dans C des équations polynomiales jusqu’à présent impossibles à résoudre car elles n’avaient pas de solutions dans R.
Le chapitre précédent nous mènera à reparler du PGCD de deux nombres, nous apprendrons aussi à utiliser les théorèmes de Bézout et de Gauss. Nous verrons aussi les nombres premiers et le petit théorème de Fermat.
Schéma de Bernoulli, Loi binomiale (uniquement enseignement de spécialité)
De nombreuses expériences aléatoires consistent en une répétition d'épreuves à deux issues, identiques et indépendantes. Dans ce cas, on peut modéliser la succession d'épreuves par un schéma de Bernoulli. Lorsqu'on effectue une succession d'épreuves, celles-ci ne sont pas nécessairement indépendantes. Dans ce cas, on peut calculer les probabilités des événements considérés à l'aide d'un arbre. La loi binomiale est la loi d'une variable aléatoire qui formalise un schéma de Bernoulli à n répétitions.
Variables Aléatoires (uniquement enseignement de spécialité)
L'espérance de la somme de deux variables aléatoires s'obtient facilement à partir des espérances des deux variables. Pour la variance, le calcul n'est simple que si les deux variables sont indépendantes. La loi binomiale formalise un schéma de Bernoulli. On peut aussi considérer une variable aléatoire suivant cette loi comme somme de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre.
Concentration, Loi des grands nombres (uniquement enseignement de spécialité)
La variance d'une variable aléatoire mesure sa dispersion autour de son espérance. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et toutes les inégalités de concentration apportent des précisions sur cette dispersion. La loi des grands nombres formalise un résultat qui semble naturel. Elle permet de dire que plus un échantillon est grand, plus ses caractéristiques sont proches de celles de la population.
En classe de première, nous avons vu la notion de variable aléatoire, ainsi que la loi d'une variable aléatoire réelle. Dans ce cours, nous allons découvrir des nouvelles lois de probabilité, à savoir les lois uniformes, la loi de Bernoulli et la loi binomiale, puis les lois géométriques.
Nous allons introduire les lois de probabilité à densité. Elles sont nécessaires dans tous les problèmes de probabilité dont la variable n'est pas discrète mais continue. Après avoir défini ce que l'on appelle une loi à densité et les termes de densité de probabilité, fonction de répartition, espérance et variance, nous étudierons deux cas de loi à densité que l'on rencontre souvent : la loi uniforme et la loi exponentielle.
En statistique, on cherche à étudier l'effet d'un ou de plusieurs paramètres. Les années précédentes, il était question d'étudier en mathématiques une population avec des séries statistiques à une variable. Cependant, dans de nombreux cas, les différents paramètres que l'on étudie pour une même population présentent des liens qu'il est important de pouvoir mettre en évidence, même s'il ne faut pas conclure trop vite à un lien de cause à effet. On parle alors de statistiques à plusieurs variables.